۞Warismatika EN
﴾ Dasar matematika ﴿

FPB & KPK

Hampir seluruh perhitungan waris bertumpu pada dua operasi bilangan bulat sederhana: KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) untuk menyatukan pecahan, dan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) untuk menyederhanakannya. Pahami keduanya, dan langkah "asal masalah" serta "tashih" tidak lagi terasa misterius.

Kenapa dipakai di faraidh

FPB — Faktor Persekutuan Terbesar

GCD

Bilangan terbesar yang membagi habis dua angka atau lebih. Dipakai untuk menyederhanakan pecahan dan perbandingan.

Cara 1 · Faktorisasi

Ambil faktor prima yang sama, pangkat terkecil.

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
FPB = 2 × 3 = 6
Cara 2 · Algoritma Euclid

Ganti angka besar dengan sisa baginya, ulang sampai sisa 0.

18 mod 12 = 6
12 mod 6 = 0
FPB = 6

KPK — Kelipatan Persekutuan Terkecil

LCM

Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dua angka atau lebih. Dipakai untuk menyatukan penyebut — inilah asal masalah dalam faraidh.

Cara 1 · Faktorisasi

Ambil semua faktor prima, pangkat terbesar.

4 = 2²
6 = 2 × 3
KPK = 2² × 3 = 12
Cara 2 · Lewat FPB

KPK(a, b) = a × b ÷ FPB(a, b).

FPB(4, 6) = 2
4 × 6 ÷ 2 = 12
KPK = 12
Untuk pemula

Belajar lewat gambar

Tiga cara melihat FPB & KPK supaya lebih gampang dipahami.

Pohon faktor

Pecah angka terus sampai semua ujungnya jadi bilangan prima (bulatan kuning). Itulah faktorisasinya.

12 2 6 2 3
12 = 2 × 2 × 3
18 2 9 3 3
18 = 2 × 3 × 3
Diagram lingkaran (Venn)

Faktor prima yang sama diletakkan di tengah (irisan). Dari satu gambar ini, FPB dan KPK langsung kelihatan.

Faktor 12 Faktor 18 2 2 3 3
FPB = kalikan yang di TENGAH
2 × 3 = 6
KPK = kalikan SEMUA bulatan
2 × 2 × 3 × 3 = 36
Garis kelipatan

Tandai kelipatan tiap angka di garis. Titik pertemuan pertama itulah KPK.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 KPK = 12
Kelipatan 4 Kelipatan 6 12 — ketemu pertama
Contoh dalam pembagian waris

Wafat, meninggalkan istri (1/8), ibu (1/6), dan seorang anak laki-laki (sisa/'ashabah).

  1. 1. Penyebut bagian tetap: 8 dan 6 → asal masalah = KPK(8, 6) = 24.
  2. 2. Saham: istri 1/8 × 24 = 3, ibu 1/6 × 24 = 4, sisa untuk anak = 24 − 7 = 17.
  3. 3. Karena satu anak (tak perlu dibagi rata banyak kepala), tak ada tashih. Kalau anaknya banyak dan sisanya tak habis dibagi, FPB dipakai untuk menyederhanakan sebelum tashih.

Coba sendiri di Kalkulator — angka asal masalah yang muncul di sana persis KPK penyebutnya.

Uji pemahaman

Latihan FPB & KPK